التركيبات الخطية والاستقلالية الخطية للناقلات

قبل أن نتمكن من تحديد الاستقلال الخطي ، يجب علينا أولاً اللحاق بالتعريف الدقيق للمجموعة الخطية:

تركيبة خطية

كن نواقل ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ منح. أي ناقل $\mathit{الخامس}$الذي تبين أن يكون

$$\mathit{الخامس}={\alpha }_1{\mathit{الخامس}}_1+\cdots +{\alpha }_{\mathit{ن}}{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$$

مع ملائكية المياه العذبة ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{\mathit{ن}}$ دعونا نكتب يسمى تركيبة خطية من ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$.

بعبارة أخرى: $\mathit{الخامس}$ هو مزيج خطي من ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$، لو $\mathit{الخامس}$ يساوي عامل ضرب ${\mathit{الخامس}}_1$ بالإضافة إلى عامل مرات ${\mathit{الخامس}}_2$ وما إلى ذلك.

لنلق نظرة على مثالين. نفترض أن لدينا قاعدة متاحة ، وهذا غير ذي صلة. باتباع الإجراء المعتاد ، نقوم بقمع الفرق بين المتجهات وتمثيلات مكوناتها فيما يتعلق بهذا الأساس

$${\mathit{الخامس}}_1=\left(\begin{array}{rcl}& 3& \\ & 1& \\ & -1& \end{array}\right)\text{و}{\mathit{الخامس}}_2=\left(\begin{array}{rcl}& 0& \\ & 1& \\ & 0& \end{array}\right)$$

(في الأمثلة $\mathit{ن}=2$). المتجه

$$\mathit{الخامس}=\left(\begin{array}{rcl}& 6& \\ & 1& \\ & -2& \end{array}\right)$$

هو مزيج خطي من ${\mathit{الخامس}}_1$ و ${\mathit{الخامس}}_2$، لأنه ينطبق بوضوح

$$\left(\begin{array}{rcl}& 6& \\ & 1& \\ & -2& \end{array}\right)=2\left(\begin{array}{rcl}& 3& \\ & 1& \\ & -1& \end{array}\right)+(-1)\left(\begin{array}{rcl}& 0& \\ & 1& \\ & 0& \end{array}\right),$$

وبالتالي

$$\mathit{الخامس}=2{\mathit{الخامس}}_1+(-1){\mathit{الخامس}}_2.$$

المتجه

$$\mathit{ث}=\left(\begin{array}{rcl}& 1& \\ & 1& \\ & 0& \end{array}\right)$$

ومع ذلك ، ليس تركيبة خطية من ${\mathit{الخامس}}_1$ و ${\mathit{الخامس}}_2$وهو أمر يصعب رؤيته قليلاً. كانت $\mathit{ث}$ مزيج خطي من ${\mathit{الخامس}}_1$ و ${\mathit{الخامس}}_2$لذلك ينبغي أن تكون عددي ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ تعطي ذلك

$$\mathit{ث}={\alpha }_1{\mathit{الخامس}}_1+{\alpha }_2{\mathit{الخامس}}_2,$$

وبالتالي

$$\left(\begin{array}{rcl}& 1& \\ & 0& \\ & 0& \end{array}\right)={\alpha }_1\left(\begin{array}{rcl}& 3& \\ & 1& \\ & -1& \end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{rcl}& 0& \\ & 1& \\ & 0& \end{array}\right),$$

ما نظام المعادلات

$$\begin{array}{rcl}1& =& 3{\alpha }_1\\ 1& =& {\alpha }_1+{\alpha }_2\\ 0& =& -{\alpha }_1\end{array}$$

يتوافق ، لكنه يحتوي على تناقض: بعد السطر الأول ${\alpha }_1=1/3$بعد الماضي ${\alpha }_1=0$. لذلك لا يمكن أن يكون هناك مثل هذا الملائكية ${\alpha }_1$ و ${\alpha }_2$ يعطي ذلك هو $\mathit{ث}$ لا يوجد مزيج خطي من ${\mathit{الخامس}}_1$ و ${\mathit{الخامس}}_2$.

ماذا عن متجه الصفر؟ من أي المتجهات هي تركيبة خطية؟ يمكننا أن نتخيل بسهولة أنه يمكن دمجها خطيًا (أي مكتوبة كمجموعة خطية) من أي متجهات. نكون ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ بشكل تعسفي ، يمكن ذلك

$$\mathit{0}={\alpha }_1{\mathit{الخامس}}_1+\cdots +{\alpha }_{\mathit{ن}}{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$$

نفي دائمًا بحقيقة أننا

$${\alpha }_1=0,{\alpha }_2=0,\dots ,{\alpha }_{\mathit{ن}}=0$$

وضع. نسمي الحل التافه لـ. قد تكون هناك حلول أخرى ، كما يوضح المثال التالي (هنا $\mathit{ن}=3$). يكون

$${\mathit{الخامس}}_1=\left(\begin{array}{rcl}& 0& \\ & 3& \\ & 0& \end{array}\right),{\mathit{الخامس}}_2=\left(\begin{array}{rcl}& 2& \\ & -2& \\ & 0& \end{array}\right),{\mathit{الخامس}}_3=\left(\begin{array}{rcl}& 2& \\ & 0& \\ & 0& \end{array}\right).$$

بوضوح،

$$\left(\begin{array}{rcl}& 0& \\ & 0& \\ & 0& \end{array}\right)=2\left(\begin{array}{rcl}& 0& \\ & 3& \\ & 0& \end{array}\right)+3\left(\begin{array}{rcl}& 2& \\ & -2& \\ & 0& \end{array}\right)+(-3)\left(\begin{array}{rcl}& 2& \\ & 0& \\ & 0& \end{array}\right),$$

حتى مع ذلك أيضا

$${\alpha }_1=2,{\alpha }_2=3,{\alpha }_3=-3$$

راضي. في هذه الحالة هناك حل غير بديهي بجانب الحل التافه. ولكن هناك أيضًا حالات لا يوجد فيها سوى حل تافه ، على سبيل المثال (مرة أخرى$\mathit{ن}=3$)

$${\mathit{الخامس}}_1=\left(\begin{array}{rcl}& 1& \\ & 0& \\ & 0& \end{array}\right),{\mathit{الخامس}}_2=\left(\begin{array}{rcl}& 0& \\ & 2& \\ & 0& \end{array}\right),{\mathit{الخامس}}_3=\left(\begin{array}{rcl}& 0& \\ & 0& \\ & -1& \end{array}\right).$$

يمكن للقارئ أن يتحقق بنفسه من أنه يمكنك القيام بالأمرين معًا ${\alpha }_1$ إلى جانب ${\alpha }_2$ إلى جانب ${\alpha }_3$ نفس $0$ يجب أن تضع من أجل تلبية ؛ لا يوجد خيار آخر ، وبالتالي حل غير بديهي. بالمناسبة ، هذا يقودنا إلى المصطلح الثاني ، لأن المرء يعرف:

الاستقلال الخطي

$\mathit{ن}$ ثلاثة أبعاد ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ يطلق عليها اسم مستقل خطيًا إذا كان المتجه الصفري يمكن فقط دمجها خطيًا بطريقة تافهة ، أي إذا كان فقط من أجل ${\alpha }_1=0,{\alpha }_2=0,\dots ,{\alpha }_{\mathit{ن}}=0$ راضي.

وبالتالي ، تكون المتجهات مستقلة خطيًا ، لكن المتجهات ليست كذلك. المتجهات غير المستقلة خطيًا تسمى أيضًا تابعة خطيًا.

يمكن أيضًا وصف التبعية الخطية أو الاستقلال بشكل مختلف. ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ تعتمد خطيا. ثم مع المعاملات${\alpha }_{\mathit{ك}}$، واحد منها على الأقل ، نقول ${\alpha }_{\mathit{ن}}$، لا يساوي الصفر. نحن نقسم من خلال ${\alpha }_{\mathit{ن}}$ وحل بعد ذلك ${\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ على ، يستسلم

$${\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}=\alpha {\text{'}}_1{\mathit{الخامس}}_1+\dots +\alpha {\text{'}}_{\mathit{ن}-1}{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}-1}$$

مع $\alpha {\text{'}}_{\mathit{ك}}=-{\alpha }_{\mathit{ك}}/{\alpha }_{\mathit{ن}}$. لذلك من الواضح ${\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ مزيج خطي من ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}-1}$. الآن دعونا نفعل العكس ونفترض ${\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ يكون مزيجًا خطيًا من ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}-1}$. ثم ينطبق مرة أخرى ، حيث $\alpha {\text{'}}_{\mathit{ك}}$ هذه المرة بعض المقاييس التي نعرفها فقط موجودة ${\alpha }_{\mathit{ك}}=\alpha {\text{'}}_{\mathit{ك}}$ ل $\mathit{ك}=1,\dots ,\mathit{ن}-1$ و ${\alpha }_{\mathit{ن}}=-1$ ونجلب ${\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ من ناحية أخرى ، نحصل على معاملات ، واحد منها على الأقل ، وهو ${\alpha }_{\mathit{ن}}$، لا يساوي الصفر ، لذلك هي ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ مستقل خطيا. منذ دور ${\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ أي شخص آخر أيضًا $\mathit{ن}$ المتجهات ، لدينا النتيجة التالية: $\mathit{ن}$ ثلاثة أبعاد ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ تعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كان من الممكن كتابة واحدة منها على الأقل كمجموعة خطية من الآخرين. من الواضح أن هذا يعادل:

نظرية

$\mathit{ن}$ ثلاثة أبعاد ${\mathit{الخامس}}_1,\dots ,{\mathit{الخامس}}_{\mathit{ن}}$ تكون مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا لم يكن من الممكن كتابة أي منها كمجموعة خطية من الآخرين.

هذا هو السبب الحقيقي وراء أهمية مفهوم الاستقلال الخطي. سننتقل إلى ذلك أكثر في الصفحة التالية.

فيديو: أسرار خط النسخ 1 للمبتدئين منهجية للتعلم السريع الدرس التفاعلي الأول بإشراف الأستاذ زكي الهاشمي (أغسطس 2022).